在动力系统的定性理论与稳定性理论中，如何在局部简化系统是一个十分基本且重要的问题。针对该问题，人们会寻找合适的坐标变换使得系统在其不动点附近有较为简单的Taylor展开式，称为正规形。最简单的正规形只含线性部分，这时称系统可被线性化。在共振或非双曲情形下，人们一般会运用局部多项式坐标变换去简化系统。但是，由于线性部分特征值之间共振关系的存在，多项式坐标变换往往无法消掉相应的共振项。这时一个自然的问题是：能否利用有限阶光滑的坐标变换达到进一步简化系统的目的？即光滑正规形问题。针对1维非双曲微分同胚和n维双曲微分同胚该问题已经有结论，而其它情形下的结论则极为少见。此外，由于存在非一致指数二分和可测性等难点，随机动力系统中基于Lyapunov指数的光滑正规形理论也有待完善。关于非共振双曲微分同胚的光滑线性化问题，我们的前期工作主要关注了低阶光滑情形。但由于可以保留更多的特征信息，高阶光滑情形也十分重要。然而，由于缺少Whitney扩张定理以及经典Lyapunov-Perron方法中使用不动点处的线性部分对非线性系统做的逼近不够精确等技术性问题，至今仍少见无穷维空间中的高阶光滑线性化结论。针对上述问题，本项目将关注以下三方面：(1)Hilbert空间中和随机双曲微分同胚的C^1正规形；(2)2维非双曲微分同胚的C^1正规形；(3)Banach空间中双曲微分同胚的高阶光滑线性化问题。我们将通过在Hilbert空间中考虑坐标分量无穷和的收敛性，利用指数二分中系数的次指数增长性，用级数逼近代替不动点定理去处理相关的函数方程，2维中心流形上找到的不变子流形和不变叶层，以及引入不变分布等手段克服已有困难。我们已经在该领域进行了十余年的研究，有丰富的经验，认为上述研究方案是完全可行的。项目执行期间计划在相关领域发表6-8篇高水平SCI论文，并培养5-6名研究生。